Форум атеистов Рунета

Сам парадокс фурмулируется следующим образом [1]:
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса.
...
Там же:
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов.
За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов.
Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее.
Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Если прочитать внимательно
"Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее.",
то можно заметить, что предполагается:
черепаха ВСЕГДА ставится впереди Ахиллеса.

Переформулируем:
Никто, бежащий позади с большей скоростью, НИКОГДА не обгонит вререди идущего с меньшей скоростью.

1) Если скорости конечны...
Пройденный путь есть произведение времени на скорость. Время как у Ахиллеса, так и черепахи одно,
а скорость Ахиллеса выше. Следовательно, растояние он пробежит большее. И оно перекроет запас по расстоянию,
имевшийся у черепахи.

2) Если скорости мнговенно падают до нуля...
Черепаху Ахиллес не догонит.

3) Если какое-то время они двигаются, а потом их скорости падают до нуля...
Решение не определено. Ахиллес может как догнать черепаху,так и не догнать ее.
С момента старта Ахиллес пробежит большее расстояние, но хватит ли его, чтобы ликвидировать начальный разрыв?
Необходимо знать дополнительные условия: скорости движения и первоночальный разрыв.

4) Если с бесконечным замедлением...
По сути, решение тоже что и по 3 пункту. Неоднозначно - временных промежутков бесконечно много, скорости бесконечно малые.
Нужна конкретика о первоначальном положениии и знание скоростей.

Общий вывод:
Изначально задаваемое "черепаха ВСЕГДА ставится впереди Ахиллеса" - неверно.

Источник:
1. http://ru.wikipedia.org/wiki/%C0%F5%E8% ... F%E0%F5%E0

Известно, что любую фигуру можно трансформировать, сохранив ее площадь.
Например, понимая под ней расстояние=скорость*время, и конкретно 2*2=1*4=0.5*8 и т.д
(причем, прямоугольные формы лишь для удобства -
можно рассматривать и треугольники, что ближе к условию задачи)

Пусть путь черепахи с учетом ее начального преимущества составляет 8 единиц (скорость=2, время=4)
Пусть путь Ахиллеса составляет 6 единиц (скорость=3, время=2)
Т.е. рисуем два прямоугольника 2*4 и 3*2, причем правые их края на оси времени совпадают.
Преимущество у черепахи при этих условиях составит 2 пространственные единицы.
Ничто не мешает трансформировать эти фигуры, утащив их правые края в бесконечность по времени,
оставив неизменными их площади (скорости, разумеется, тоже уменьшаются для каждого мгновения).
Это случай когда Ахиллес не догонит черепаху

Не составит труда придумать случай, когда Ахиллес догонит черепаху: 2*4 и 4*2
И один из случаев, когда Ахиллес обгонит черепаху: 2*4 и 6*2

P.S. В этих трех примерах начальное преимущество черепахи перед Ахиллесом составляет 4 пространственные единицы (2 единицы скорости * 2 единицы времени)

К тем же выводам можно прийти и ниаче ...

Рассмотрим для примера обобщенно гармонический ряд вида 1/N, где N имеет степень S больше единицы
(при степени S меньше или равном единице - ряд расходящийся).

Допустим, имеем сходящийся ряд при S=2 для Ахиллеса и S=3 для черепахи.
(Рассматриваем ситуацию, когда оба стартуют одновременно и без гандикапа)
Поскольку оба ряда сходятся, то существует разность их пределов L2 - L3 = L
(Т.е существует конечное число L, которе показывет насколько Ахиллес обгонит черепаху).

Теперь нетрудно придумать ситуацию,
когда Ахиллес не догонит черепаху: L0 > L (L0 - начальное преймущество черепахи)
когда Ахиллес сравняется с черепахой: L0 = L
когда Ахиллес перегонит черепаху: L0 < L

Апории Зенона затрагивают такие сущности как пространство, время, движение. бесконечность.
Поскольку сегодня как и много тысяч лет назад все эти понятия тёмный лес, то вопросы которые задавал Зенон на сегодня не разрешены.
Математическое решение которое предлагается фактически сводит пространство и движение в нём к дискретам.
При рассмотрении движения как непрерывного процесса апории не разрешаются.
В соответствии с Зеноном движение невозможно в том смысле как мы его понимаем (непрерывное и равномерное).
По Зенону допустимо только движение мгновенными рывками.

... Не совсем темный лес.
Решаем задачи и на дискретность и на непрерывность. И, что более важно, решение этих задач помогает попасть в нужное время в нужное место.

И последнее ...

Структура самого предложения в своей основе выглядит так:
1) Когда Ахиллес догонит черепаху, если он никогда ее не догонит?

Чтобы скрыть явное противоречие, несколько его изменим.
2) Когда Ахиллес догонит черепаху, если черепаха всегда впереди Ахиллеса?
3) Когда Ахиллес догонит черепаху, если Ахиллес приближается к черепахе, а она всегда впереди Ахиллеса?

Суть апорий Зенона в том что человек не может представить себе непрерывность. он оперирует только дискретами.
При воображении непрерывности (бесконечности) получается чепуха.

Ранее писал, что если догоняющий двигается с большей скоростью, то он не обязательно догонит, даже если их движение продолжается бесконечно долго.

Если для определенности рассмотреть обобщенно гармонический ряд с коофициентами
S=2 для Ахиллеса и S=3 для черепахи (соответсвенно, скорость Ахиллеса всегда больше скорости черепахи, за исключением первого значения, равного единице), то пройденный путь будет составлять:
Ахиллес: L2 = 1 + 1/4 + 1/9 + ...
черепаха: L3 = 1 + 1/8 + 1/27 + ...

Поскольку разность L2 - L3 = L конечна (в силу того, что эти ряды сходятся),
то можно подобрать гандикап черепахи из которого следует три вариата (не догонит; сравняется, перегонит)

Почему же получается парадокс?
Где ошибка в формулировке:
пока Ахиллесс пробежит расстояние до черепахи, черепаха за это же время проползет меньшее расстояние; пока Ахиллес пробежит это меньшее расстояние, черепаха успеет проползти еще более меньшее расстояние - тем самым ВСЕГДА оказываясь впереди Ахиллеса?
... для вариантов "сравняется и перегонит" будет ошибкой ВСЕГДА ставить черепаху впереди Ахиллеса.

парадокс в понятии бесконечность.