Форум атеистов Рунета

1) Пусто́е мно́жество — множество, не содержащее ни одного элемента [1]

Казалось бы все понятно ...

2) Пустое множество является подмножеством любого множества. В частности, пустое множество является своим подмножеством. [1]

И это свойство, вроде бы, не вызывает вопросов ...

3) Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент, принадлежащий А, также принадлежит В.[2]

Имеем определение подмножества. Пустое множество является своим подмножеством. Следовательно, если оставить в силе определение пустого подмножества, то оно будет противоречить свойству пустого множества (в том смыле, что содержит элементы). Если же не применять к пустому множеству понятие подмножества, то вынуждены сделать вывод, что пустое множество не равно пустому множеству или, что тоже самое, что ноль не равен нулю, что тоже противоречиво.

Источники:
1.http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F3%F1% ... 1%F2%E2%EE
2.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%B2%D0%BE

Пустое множество - одно. Иначе говоря, если множество содержит, например,
летающих крокодилов и живущих сейчас мамонтов,
то на самом деле имеется лишь одно подмножество, а не два (как казалось бы).

Но в множестве (по определению) должны отличаться все его элементы (все подмножества).
В множестве, например, содержащем апельсин и грушу
(если следовать той же логике, что и по отношению к пустому множеству)
- содержится лишь один элемент (груша - одна, апельсин - один. И один не отличается от себя же)

Вопрос в семантике. Летающих крокодилов в смысле количества, конечно же, - ноль.
Но это будет верно ТОЛЬКО с точки зрения количества!
В общем случае (если учитывать все качественные характеристики) о летающих крокодилах
(как и о живущих сейчас мамонтах) нельзя говорить как о нуле
(также как нельзя говорить о груше и о апельсине как об одном элементе в множестве).

P.S. Если учитывать семантику ... нули бывают разные?
Трудность математики в том, что как только она вылазит за свои (количественные) границы -
тут же натыкается на более богатый по содержанию мир.

Не вижу никаких противоречий. Пусть множество содержит пустые подмножества, но при этом оно всё равно не содержит ни одного элемента, значит оно пустое. В определении не говорится, что пустое множество не должно содержать никаких подмножеств.

Если следовать написаной букве ...
Пустое множество является своим подмножеством. Пустое множество А является подмножеством пустого множества В, если любой элемент, принадлежащий А, также принадлежит В. Это определение требует наличия элементов, чтобы судить о множестве как о чьем-либо подмножестве.

Или для пустого стоит изменить формулировку подмножества ...
Пустое множество А является подмножеством пустого множества В, если нет ни одного элемента, принадлежащего А, также принадлежащего и В.

Множества (подмножества) и элементы - разне вещи, они не тождественны. Если взять, например, множества лошадей и табуреток, то можно найти их пересечения, попробуйте найти пересечения самих элементов.

Для определенности ....
с = {a, b} Здесь для множества "c" чем будут являтся "a" , "b"? Элементами?
А если а = {f, q} и b = {e, h}? Подмножествами?

Нет никаких противоречий.
1. Вы соверешенно упускаете из виду свойства импликации, а имено пусто истиную имликацию: Из лжи следует все, что угодно.
2. Во-вторых, вы опять смешиваете множество {a} и элемент a - теряете скобки и затем делаете ложное утверждение, хотя ежу понятно, что {a}#a.

_________________
"Религия существует с тех пор, как первый лицемер повстречал первого дурака." (С) Вольтер.

Можно разбирать философское {a}#a ...
но в том, что написал именно этого - нет!
А утверждается следующее:
с = {a, b} = { {f, q}, {e, h} }

bulygin69, речь зашла о пустых множествах. В случае пустых множеств, если различать неопределимые понятия элемент и множество (подмножество) парадоксов не возникает. Если в подмножествах нет элементов (пусть f, q, e, h - даже, тоже пустые подмножества), то если не продолжать количество подмножеств до бесконечности, парадокса не будет. В случае бесконечного количества - я пас. Если множества не пустые - обычные операции с множествами.

1. Надеюсь начет пусто истиной импликации вы поняли: речь шла о том, что если условие элемент принадлежит множеству ложное, то импликация ЛОЖЬ-->ЛОЖЬ будет истиной.
2. Вы опять в упор не видите, что {f, q}#{{f, q}}.

_________________
"Религия существует с тех пор, как первый лицемер повстречал первого дурака." (С) Вольтер.