1) Пусто́е мно́жество — множество, не содержащее ни одного элемента [1]
Казалось бы все понятно ...
2) Пустое множество является подмножеством любого множества. В частности, пустое множество является своим подмножеством. [1]
И это свойство, вроде бы, не вызывает вопросов ...
3) Множество А является подмножеством множества В, если любой элемент, принадлежащий А, также принадлежит В.[2]
Имеем определение подмножества. Пустое множество является своим подмножеством. Следовательно, если оставить в силе определение пустого подмножества, то оно будет противоречить свойству пустого множества (в том смыле, что содержит элементы). Если же не применять к пустому множеству понятие подмножества, то вынуждены сделать вывод, что пустое множество не равно пустому множеству или, что тоже самое, что ноль не равен нулю, что тоже противоречиво.
Источники:
1.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F3%F1% ... 1%F2%E2%EE2.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%B2%D0%BE