Игнатка писал(а):
Сто гоблинов делят кучу золотого песка. Первый взял себе 1% кучи; второй -- 2% того, что осталось после первого; третий -- 3% того, что осталось после двух предыдущих; и так до последнего, который взял себе всё, что осталось после всех предыдущих. Кто из гоблинов взял себе золота больше всего?
Игнатка писал(а):
А без компьютера доказать можете?
Могу. Хотя немного коряво.
Обозначим функцию остатка клада до гоблина x через P(x)=(1-0,01x)(1-0,02x)...(1-0,01x)
Гоблин берет 0,01xP(x) часть клада. (x в процентах)
Требуется найти, когда функция 0,01xP(x) принимает максимальное значение.
Коэффициент можно отбросить. Искать максимум функции xP(x). Продифференцируем эту функцию.
df/dx. С дельта x ясно равна 1. Один процент по условию задачи. В этом месте предвижу возражения. Производная по определению равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента. Какое же бесконечно малое приращение, если берем 1? Но представим, что у нас не 100 гоблинов, а миллион, берут не в процентах, а в десятитысячных долях процента. Общности это не изменит.
Теперь найдем приращение функции xP(x).
xP(x)-(x+1)P(x)(1-0,01(x+1)).
Экстремум функция достигает, когда производная равна 0.
Решаем уравнение:
xP(x)-(x+1)P(x)(1-0,01(x+1))=0
Сокращаем на P(x)
x-(x+1)(1-0,01(x+1))=0
введем для удобства замену у=x+1
y-1-y(1-0,01y)=0
0,01y
2=1
y=10.
Максимальный разрыв получатся между 10м и 9м (x=9) гоблинами.
Т. е. максимальную долю клада получит 10й гоблин,
6,28%. Для общего случая надо становиться в очередь, чтобы номер был равен квадратному корню из числа участников.
P.s
Когда посчитал ответ, подумал причем тут 2Пи. Наверно игра цифр. Но продифференцировав в лоб на компе, увидел
(-4.60517 +
3.14159 I) (-0.01)^x Pochhammer[-99., x] + (-0.01)^
x Pochhammer[-99., x] PolyGamma[0, -99. + x]Тут уже сомнений нет. Какая-то связь гоблинов с числом Пи.
Форумчане, напоминаю, что остается нерешенной задача МФА: Разделить циркулем и линейкой отрезок на 4 равные части, проведя шесть линий. Не торопимся писать новые задачи не решив старые. Красивую задачу приятно посмаковать. Задачу МФА продолжаю решать.