МФА писал(а):
Берите одну любую и проверяйте. Этого достаточно.
Единичный пример не доказывает ничего.
Мало ли что для окружности совпало! А для другой?
А то ведь и я могу заявить "периметр квадрата равен его площади. Сам проверял!" А потом убедиться, что если сторона квадрата не равна 4 - то почему-то не равен...
МФА писал(а):
Например дана формула суммы первых N чисел натурального ряда: S = N(N + 1)/2.
Нужно ли для проверки этой формулы, например, для N = 1000000 складывать все числа от 1 до 1000000?
Если есть доказательство - то нет.
Если есть очевидное понимание, как она получается - то нет.
Если откуда она взялась - неизвестно, что надо проверить.
Если для всех, для которых мы взяли - получается - то тогда есть некая уверенность, что формула верна. Но опять-таки она не проверена для всех чисел.
Хочу пояснить. Давайте, к примеру, возьмём язык программирования Паскаль. Объявим два переменные a и b как тип integer. И напишем программу, которая складывает два этих числа.
Будем вводить 5 и 5. Ответ 10. Работает.
5 и 10 - работает. Ответ 15.
5 и 1000 = 1005, работает.
10 000 + 10 000 = 20 000 - замечательно!
Можно ли отсюда сделать вывод что всегда будет получаться правильный ответ? Нет
Верный ответ будет получаться до тех пор, пока сумма не станет больше 2
15. Потому что тип integer в паскале представлен двухбайтовым числом, и из этих 16 бит один отдан на знак. Получается 15 бит. Как только сумма станет больше 32767 - программа вылетит с ошибкой. То есть 10 000 + 10 000 будет правильно, 15 000 + 15 000 тоже будет правильно, и 16 000 + 16 000 тоже будет правильно. А вот 17 000 + 17 000 и мы получим либо неверный ответ (не поместившийся в разрядную сетку), либо аварийный вылет программы.
Так что из того, что некий расчёт выполнился и дал верный результат для набора данных Х - не следует что такой же расчёт выполнится и даст верный результат для набора данных Y. Либо доказать, либо показать откуда и как берётся, либо перепроверять ВСЕ наборы.
МФА писал(а):
Как-то пару раз использовал для этого миллиметровку.
И с какой точностью Вы выичслили прощадь по полузакрашенным и полунезакрашенным клеткам? Для какого знака в числе "пи" хватило бы такой точности?
МФА писал(а):
А ещё вычислял площадь круга с помошью циллиндрической кружки и воды.
С точностью до капли какого размера и объёма? Готов поспорить что на донышке наверняка осталась пара капель. Результат-то неточный.