А с остатком 1 должен быть, видимо, отдельный разговор.
Уважаемая Игнатка полностью привела алгоритм для всех прочих остатков.
После выборки из числа 1, 3 и 7 - от числа что-то остаётся. Обозначим это X. Ну или же ничего не остаётся. В таком случае переставляем цифры как 371 - и готово. Число делится на 7.
Если же X всё-таки непуст - то появляется масса перестановок. X137, X173, X317, X371, X713, X731. Ровно 3!=6 случаев, перестановка из 3-х элементов, когда на первом месте X. Выше уже рассмотрено, когда надо так переставлять - когда остатки кроме 1 у перестановки 137, что фактически означает остаток кроме 6 у X.
Однако есть ведь и случаи 137X, 173X, 317X, 371X, 713X, 731X - их тоже 6. Есть ещё случаи когда цифры можно "запихнуть внутрь" X - но мы их сейчас рассматривать не будем. Достаточно и того, что уже есть.
Итак, X при делении на 7 даёт остаток 6. Из добавки к нему спереди из цифр 1, 3 и 7 мы должны получить недостающий остаток 1.
Вопрос - а сколькозначный X? Сколько в нём цифр?
Если одна - то запись 137X по сути 137*10 + X
Если две - то 137*100 + X
1370 + X
13700 + X
И т.д.
Мы говорим о перестановке цифр 1, 3 и 7, умноженной на 10 в степени N - и это число должно давать остаток 1. При делении на 7. Не получилось сзади числа - вдруг получится спереди числа?
А давайте вообще разберёмся - какие остатки при делении на 7 дают степени десятки?
10 : 7 - в остатке будет 3
100 : 7 - в остатке будет 2
1000 : 7 - в остатке будет 6
10 000 : 7 = 4
100 000 : 7 = 5
1 000 000 : 7 = 1
10 000 000 : 7 = 3
Ну и дальше поехали по кругу.
Итак, нам надо получить при делении на 7 остаток 1.
Выходит, если число Х однозначное - то мы выбираем 1 730 + Х. У 173 остаток 5, у десятки 3, получается 1.
Если двузначное - выбираем 13 700 + Х. У 137 остаток 4, у сотни 2, снова получится 1.
Если трёхзначное - выбираем 713 000. У 713 остаток 6, у тысячи 6, остаток снова 1.
Четырёхзначное - 3 170 000 - получится 2*4 и остаток снова 1.
Пятизначное - 7 310 000 - снова 3*5 = 1 в остатке.
Шестизначное число? Которое даёт остаток 1? Гмммм.... Пока ничего не выбираем.
Семизначное - см. однозначное, и т.д.
Итак, почти готово.
Если Х даёт любой остаток кроме 6 - то сзади приписываем числа по схеме уважаемой Игнатки.
Если Х даёт в остатке 6 - то приписываем спереди сочетания, исходя из длины Х.
Основная трудность с шести(12, 18 и т.д.)значным числом Х, дающим в остатке 6.
Потому как 1 получить не удаётся.
Пока всё правильно?
Но кто же мешает разбить нам 1, 3 и 7? Часть до числа Х, а часть после?
Если число Х имеет 6 цифр - то число, к примеру, 13Х7 = 130 000 000 + Х*10 + 7.
Ну и так далее.
И видим мы любопытнейшую вещь: число 3Х17, состоящее из:
3*100 000 000 + Х*100 + 10 + 7
должно разделиться на 7 полностью.
Ибо у 100 000 000 остаток 2, у 300 000 000 остаток будет 6.
У Х, как мы договаривались, остаток 6, значит у Х*100 остаток 600, что суть 5.
У числа 10 остаток 3.
А семёрка не в счёт. Она делится на 7.
И мы получаем сумму остатков: 6+5+3 = 14.
Число вида 3X17 разделится на семь, при условии, что Х - шестизначное число, дающее при делении на 7 остаток, равный 6.
При всех иных иксах методы перестановки уже были описаны.
Наверняка совершенно аналогичные рассуждения будут справедливы и для Х 12-ти, 18-ти и т.д. -значного.
Итак, существование и возможность перестановки доказана. Более того, доказательство носит конструктивный характер, ибо был показан алгоритм подобной перестановки.
ЧТД.