Форум атеистов Рунета

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

один красный отрезок x, другой у. Зеленый отрезок z. Сторона треугольника a.
Тогда по теореме косинусов a²=x²+z² -2xzcos60 и a²=y²+z²-2yzcos60
Приравниваем правые части уравнений:
x²+z² -xz =y²+z²-yz
x²-y²=xz-yz
(x+y)(x-y)=(x-y)z
x+y=z
(Для случая x=y, доказательство тривиальное.)

f[f(x)] = x;
f(x) = ?

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

x, -x, 1/x, 1-x ...

Не только, конечно.
f[f(x)] = x. Инверсная функция от обеих частей: f(x) = f^–1(x).
Т.е. инверсная функция должна совпадать с самой функцией. Это значит, что любая кривая, симметричная относительно биссектрисы 1–3 координатного угла, является решением. Например: f(x) = x; a–x; a/x и т.п.

Усложним задачу: f[f(x)] = x². f(x) = ?

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

x^√2, 1/x^√2

Угадали?..
А если вот так:
f[f(x)] = (x+1)/(x+2) ?

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Ответ: f(x) = 1/(1+x)

Но как решать такую задачу в общем виде, я не знаю и ничего придумать не смог.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Офигенно красивый результат.

Все есть и золотое сечение и кролики Фибоначчи. Я должен был догадаться. Не хватило терпения посчитать четные вложения функций.
Узнать ряд Фибоначчи. И естественно коэффициенты для первой функции.

Я решал так:
Поскольку f[f(x)] – дробно-линейная функция, то и ответ я искал в дробно-линейном виде, а именно
f(x) = a + b / (c + x). Тогда f[f(x)] = a + b / [c + a + b / (c + x)]
или f[f(x)] = (ac² + acx +a²c + a²x +ab + bc +bx) / (c² + cx +ac +ax +b)
Числитель должен быть равен x + 1, а знаменатель x + 2, откуда а = 0, b = c = 1.

Есть ли другие решения – не знаю.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха