Форум атеистов Рунета

Найти решения уравнения:
x^y = y^x

"Тривиальное" решение очевидно: y = x.
Существуют нетривиальные? Два из них тоже очевидны: x=2, y=4; x=4, y=2.
А еще?

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Единственное нетривиальное решение в натуральных числах вы указали.
В рациональных бесконечно много, например, 27/8 и 9/4.
А вообще это известное уравнение.

Я не знал, что это уравнение известно и решал его по-своему.
Я обозначил y/x через u: y = ux. Тогда
x^ux = (ux)^x ---> x^u = ux ---> x^u–1 = u ---> x = u^1/(u–1) ---> y = u^u/(u-1)
Это решение включает в себя и частные случаи:
u = 0,5 ---> x = 4. y = 2
u = 1 ---> y = x
u = 2 ---> x = 2, y = 4
u = 3 ---> x = sqrt(3), y = sqrt(27)
и т.д.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Мое решение проще. См. видео:
https://youtu.be/xtWmqk7BXuY

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Изящно.

Ну да, точное построение - лучшая подсказка.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

f[x+y+f(x)] = 6x + 2y
f(x) = ?

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

2x