Форум атеистов Рунета

Последовал вашему совету, сопоставил численное решение уравнения Риккати с его аппроксимацией линейным дифуром первого порядка. Результат показан на рисунке.
Небольшие расхождения есть, но они меньше погрешности измерений (3%).

Значения параметров
В уравнении Риккати: k₁=1; k₂=0,1; k₃=5
В линейном дифуре: k₁=0,372; k₂=0,197; k₃=4,453.

Несовпадение параметров естественно: они входят в различные уравнения и некоторые имеют различную размерность.
Можно еще попробовать уменьшить шаг по времени для повышения точности численного решения. Но и так уже видно, что линейной аппроксимацией можно пользоваться.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Конечно, хорошо бы иметь строгое доказательство о возможности замены в диф. уравнениях переменной, ее ступенчатой формой в виде констант. Но на графике очень хорошее соответствие, вряд ли это совпадение.

Строгое доказательство вряд ли возможно: имеет место не равенство, а аппроксимация.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Не те графики я сравнивал. Нужно было не Риккати с линейным дифуром сравнивать (там равенство приблизительное), а одно и то же линейное уравнение, решенное разными способами.
На рисунке сравнивается упомянутый ранее линейный дифур, решенный численно методом ломаных Эйлера (синяя кривая) и моим методом (красная). Обе кривые совпадают идеально; я нарочно немножко сдвинул красную кривую, чтобы ее тоже было видно.



Таким образом, "мой метод" по существу ничем не отличается от метода Эйлера и новым словом не является.
Какой удар со стороны классика!
Хотя, возможно, он может оказаться полезным для решения некоторых задач, в которых y' - функция времени, заданная таблично (тогда вычисление ее производной затруднено).

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Если обобщить, привести несколько дифур, особенно для конкретных расчетов, чего либо востребованного, то вполне тянет на научную статью.

Не потянет. Я не профессиональный математик, и мои доморощенные поделки настоящих математиков могут в лучшем случае насмешить.

Что до приложения к чему-то востребованому, то у меня востребовано описание реологиии тиксотропных и реопексных суспензий путем решения уравнения Риккати.
И вот что я подумал: чем аппроксимировать уравнение Риккати линейным дифуром, а затем решать его моим методом (а он представляет собой численный метод с итерационной формулой, по существу эквивалентный методу Эйлера), то лучше уж решать методом Эйлера непосредственно уравнение Риккати.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Кстати: вместо метода Эйлера лучше использовать метод Рунге-Кутты.

Еще одна задачка: в квадрат вписан треугольник, как показано на рисунке

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Рунге-Кутта приятное воспоминание. Клавишная ЭКВМ Искра. Мерцающие красные нити цифр в лампах. Поражен вычислительной мощностью арифмометра. Какое счастье, что не надо считать на бумаге.

Правильно. Я решал точно так же.

Можете дать ссылку на какой-нибудь учебник, где выводятся формулы метода Рунге-Кутты?

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха