Форум атеистов Рунета

Не пользуясь тригонометрией, найти площадь квадрата:

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Как обычно, решение с конца. Построим окружность радиуса 4.
В правом нижнем квадранте на радиусе построим квадрат.
Из вершины D построим угол 30 градусов. Луч угла пересекает окружность в точке E.
Тогда синяя дуга 60 градусов. Красная 30. Углы соответствуют заданным. (Диагональ на рисунке не показана).
Розовый треугольник равносторонний. Значит сторона квадрата 4. Площадь 16.

Мое решение проще:


Продолжим отрезок CE до пересечения с биссектрисой угла В (точка F) и проведем отрезок AF.
Легко доказать, что цветные треугольники равны, откуда AB = AE = 4, и площадь соответственно 16.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Найти площадь красного треугольника.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Площадь красного треугольника равна площади большого прямоугольника минус площадь прилегающих к красному треугольников.
S=(a+b)(c+d)-a(c+d)/2-bc/2-(a+b)d/2=ac+bc+ad+bd-ac/2-ad/2-bc/2-ad/2-bd/2=(ac+bc+bd)/2=(3+4+5)/2=6

Мое решение:
Соединяем т.А с т.В (см. видео по ссылке); треугольник разбивается на 3 треугольника.
Двигаем вершины синего и зеленого треугольника, как показано на видео (https://s11.gifyu.com/images/SApgA.gif); при этом площади треугольников не меняются.
Дальше ясно без пояснений.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Оригинально.

Разделим числитель на знаменатель. Придем к формуле в которой слагаемые попарно обнуляются. Остается последний член.
∑√1-1/(n+1)-√1-1/n=√1-1/(1+1)-√1-1/1+√1-1/(2+1)-√1-1/2+…+√1-1/(n+1)-√1-1/n=√1-1/(n+1)->1

В прямоугольник вписан правильный треугольник.
Найти площадь треугольника, помеченного знаком вопроса.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Я решил с помощью тригонометрии. Ответ 7.
Хотел найти чисто геометрическое решение, но что-то ничего дельного придумать не смог.
Кстати, любопытный факт: независимо от угла между левыми сторонами прямоугольника и треугольника, S₃ = S₁ + S₂.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха