Форум атеистов Рунета

Был в отпуске. Вернулся, увидел новую задачу. Только не понял услвия: фальшивые мощи входят в число, кратное квадрату, или нет?

А вот у меня для вас новая задачка; я ее решил двумя способами:
f(x+y) = f(x) + f(y) + xy; f(4) = 10. f(100)=?

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Нет, фальшивые не входят. В том-то и фишка, что СМ заранее не знает, сколько ей попадется фальшивых мощей. Но устроители маршрута гарантируют, что менее 10. Поэтому СМ хочет перецеловать такое количество мощей, чтоб даже за минусом 1,2,3…9 это оставался набор одинаковых квадратов.

f[8]=2f[4]+16=36
f[12]=f[8]+f[4]+32=36+10+32=78
f[24]=2f[12]+144=300
f[48]=2f[24]+24^2=2f[24]+576=1176
f[96]=2f[48]+48*48=2*1176+2304=4656
f[100]=f[96]+f[4]+96*4=4656+10+96*4=5050

Теоретически можно: если квадраты взаимно простые, в натуральном ряду найдётся десятка чисел с любой комбинацией остатков. Практически -- вряд ли, число слишком большое получится.

_________________
Что нам действительно нужно, так это воображение, но воображение в надёжной смирительной рубашке. (Ричард Фейнман)

Верно. Китайская теорема об остатках. Я даже нашел одно такое число. 37488169344695808952
Лобзать не перелобзать. Разве что в раю СМ будет чем заняться.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Применение дифференциала неожиданно и красиво.

Ужас! Где Вы вообще такие похабные задачки берёте?

Кстати, если n-е треугольное число изобразить в виде прямоугольного треугольника из n точек, и n=m+k, то этот треугольник можно разбить на два треугольника, соответствующих m-ному и k-тому треугольным числам и прямоугольник со сторонами m и k точек.

_________________
Что нам действительно нужно, так это воображение, но воображение в надёжной смирительной рубашке. (Ричард Фейнман)

Задача:
f(xy) = f(x) + f(y)
"Тривиальное" решение очевидно: f(x) = log(x).
Существуют ли другие решения?

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Нет. Заменой g(x)=f(e^x) приходим к линейной функции.
g(x+y)=f(e^x+y)=f(e^xy)=f(e^xe^y)=f(e^x) +f(e^y)=g(x)+g(y)
Решение линейного уравнения ax. Отсюда искомой может быть только логарифмическая функция.
А жаль. Какой бы мощный инструмент, кроме логарифмов имели бы. Да и линейка была бы не только логарифмической.