Форум атеистов Рунета

я по факту надежный фундамент всех достижений современности

Что вы, вопрос обозначается вопросительным знаком. Он вот так ? пишется, а восклицательный знак это восхищение скромным юзером.

Зенон, Ахилесс, черепаха. Философы и математики.

...Зенон не был шутником и не страдал от непонимания физики. Он был учеником Парменида — философа, который утверждал нечто совершенно радикальное, в стиле «движения не существует». Реальность едина, неподвижна и неизменна, а всё, что мы воспринимаем как движение и изменение, — иллюзия наших чувств. Мысль философская, вот так сразу не поймешь, поэтому Парменида высмеивали.

И Зенон придумал не один, а целую серию парадоксов, чтобы защитить своего учителя. Его стратегия была гениально простой: показать, что если допустить существование движения, то мы приходим к абсурду. А значит, движение — действительно иллюзия. Не потому, что так сказал Парменид, а потому, что логика сама нас к этому вынуждает.

...Обратите внимание на общий приём. Зенон не отрицает, что мы видим движение. Он говорит, что наши понятия о движении, пространстве и времени внутренне противоречивы, потому что если попробовать описать движение логически строго — утонешь в бесконечности.

И знаете что? Две тысячи лет никто не мог ему внятно возразить.

Аристотель, который первым подробно разобрал парадоксы Зенона, предложил ответ, который продержался почти две тысячи лет. Он сказал: бесконечность бывает двух видов. Есть актуальная бесконечность — когда бесконечно много объектов существуют все сразу, «готовыми». А есть потенциальная бесконечность — когда процесс может продолжаться сколько угодно, но никогда не завершён.

...Время и пространство делимы потенциально, но не актуально. А значит, аргумент Зенона не работает: Ахиллесу не нужно проходить «актуально бесконечное» число отрезков — он проходит путь, который делим на бесконечное число частей, но не состоит из них.

Звучит разумно. Но это был скорее запрет на вопрос, чем ответ на него. Аристотель, по сути, сказал: «Не рассматривайте бесконечность как готовый объект — и парадокс исчезнет». Но он не объяснил, как именно конечное время вмещает бесконечное число шагов. И не дал инструмента, чтобы это посчитать.

Прорыв
На самом же деле ключ к парадоксу Ахиллеса — в одной простой идее, которую сегодня проходят в школе...
Такую сумму называют сходящимся рядом. Идея, что бесконечное сложение может дать конечный результат, — это и есть первый кирпич того, что позже назовут математическим анализом.

...Но здесь есть тонкость, из-за которой всё затянулось ещё на двести лет. Сказать «сумма равна 111 целым и 1/9» — легко. Но как строго доказать, что это действительно так? Что значит «сумма бесконечного ряда» вообще? Ведь вы не можете сложить бесконечное число слагаемых — вы всегда останавливаетесь на каком-то конечном шаге. Вот эта проблема — «что такое бесконечная сумма» — и оказалась той дверью, за которой ждал весь математический анализ.

Ньютон, Лейбниц и «призраки усопших величин»
В XVII веке Ньютон и Лейбниц — независимо друг от друга — создали то, что мы сегодня называем математическим анализом. У них были разные обозначения (нотация Лейбница, с «dy/dx» и интегралами, победила — и именно ею мы пользуемся до сих пор)


Но была проблема. Ни Ньютон, ни Лейбниц не могли строго объяснить, что такое «бесконечно малое». Они обращались с ним как с числом: делили на него, умножали, отбрасывали как «пренебрежимо малое».

Философ Джордж Беркли, епископ Клойнский, в 1734 году написал ехидный трактат «Аналитик», где разнёс эту логику в пух и прах. Он назвал бесконечно малые «призраками усопших величин» — и спросил ехидно: это что, величины, которые сначала не ноль (чтобы на них можно было делить), а потом ноль (чтобы их можно было отбросить)?

Настоящее решение
Строгое решение пришло только в XIX веке — и это была работа нескольких поколений математиков. Я сейчас не буду вдаваться в подробности, чтобы не уйти в ту математику, которая не понятна большинству и которую студенты со всего мира проклинают на первом курсе, но суть в том, что благодаря усилиям Огюстена Луи Коши и Карла Вейерштрасса теперь можно дать полный, логически безупречный ответ Зенону. Если коротко и понятно, то «бесконечно много шагов» ≠ «бесконечное время». Можно сделать бесконечно много дел за конечное время, если каждое следующее занимает меньше предыдущего.

А парадокс всё ещё жив
Справедливости ради стоит сказать, что математический анализ решил парадокс, показав, что в нём нет логического противоречия. Но философски тема не закрыта до сих пор, потому что есть вопросы, о которых всё ещё спорят.

Если можно выполнить бесконечно много действий за конечное время, то что происходит после? Представьте лампу, которая включается и выключается: через 1/2 минуты, потом через 1/4, потом через 1/8... К концу минуты она переключилась бесконечно много раз. Горит она или нет? Логика не даёт ответа — и это называют парадоксом Томсона. Он показывает, что «бесконечно много действий за конечное время» — логически допустимо, но не всегда даёт определённый результат.

Зенон задал вопрос, на который его современники не могли ответить. Аристотель дал ответ, который две тысячи лет считался достаточным — но был скорее отговоркой. Архимед подошёл вплотную к решению, но не сделал последний шаг. Ньютон и Лейбниц создали инструмент, который работал, но не был обоснован. Беркли указал на дыру. Коши и Вейерштрасс закрыли её — и только тогда, через 2300 лет после Зенона, человечество смогло наконец сказать: «Ахиллес догонит черепаху, и вот строгое доказательство»...