Форум атеистов Рунета

Ну как же так?
По предположению ряд сходится. Значит, если предположение справедливо, можно порядок суммирования менять произвольным образом.
Меняем его так: А = 1/2 + 1/4 + 1/6 +... + 1/1 + 1/3 + 1/5 +...
Но 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = А/2, следовательно 1/1 + 1/3 + 1/5 +... = А/2.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Как быть с рядом Гранди, например − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 … = 1/2 ?
Он сходится или расходится? Как суммировать?

Это знакопеременный ряд, и он абсолютно расходится ---> переставлять члены нельзя.
А абсолютно сходящиеся ряды можно суммировать в любом порядке, это известная теорема.
Гармонический ряд ПО ПРЕДПОЛОЖЕНИЮ (в доказательстве от противного) сходится, следовательно, ЕСЛИ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ СПРАВЕДЛИВО, можно порядок суммирования менять произвольным образом
В результате - противоречие, значит предположение неверно и ряд расходится.
И ряд Гранди тут ни при чем.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Что-то смущает в доказательстве. Ну хотя бы то что расходящиеся ряды иногда имеют сумму. Ваш метод можно предложить и для натурального ряда 1+2+3+4+...Расходящийся, а имеет сумму -1/12. А вот гармонический, как раз не имеет.

Помилуйте, что вы такое пишете? Как это расходящийся ряд может иметь сумму? и как это сумма положительных чисел может быть отрицательной? Разве только в виде софизма.

Что-то и меня смущает, только не пойму что.
Разве только то, что приведенное доказательство проще и элегантнее общепринятого, и если оно не ошибочно, то непонятно, почему оно не вошло в учебники.
Но это не есть аргумент по существу.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Нет. Там очень серьёзно. Даже миллион долларов могут дать. Ну это если докажите что сумма гармонического ряда (не совсем гармонического, там в знаменателе степень стоит) равна нулю, только в том случае если действительная часть этой степени точно равна 1/2.
Впрочем, действительно, это немного в сторону. Меня смущает, что замена конкретной суммы ряда, на сравнение больше, меньше по сути дела приводит к знакопеременному ряду. 1-1/2 +1/3-1/4+ ... т.е. к условной сходимости, а там как известно чудеса могут быть от перемены мест слагаемых. Хотя здесь как раз известно, что сумма равна ln2. Т.е. сумма нечетных дробей действительно больше.

Не-е, от того, что вы в абсолютно сходящемся ряду поменяете половину знаков, делая его знакопеременным, он не станет условно сходящимся. Он останется абсолютно сходящимся по определению.

Насчет того, где "очень серьезно", буду разбитаться потом, сейчас лень.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Я тоже вечерком помозгую над вашим доказательством. Но вообще у меня тоже, еще со школы, есть простые доказательства нерешенных человечеством задач. Не публикую только из скромности.

Вы раздразнили мое любопытство. Можно опубликовать прямо здесь?

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Не могу решить уравнение: y'-tg(xy)=0.
Замена переменных xy = u приводит к неоднородному дифуру u'/tg(u) - u/[x tg(u)] = x.
Решение однородного дифура u = cx; однако метод вариации константы интегрирования (с) приводит к дифуру, тождественному исходному: c' - tg(cx) = 0.

что делать? (И кто виноват? )

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха