Форум атеистов Рунета

Замечательно!
Только есть 2 "но":
1) Групповые операции должны быть определены на множестве вещественных чисел из отрезка [0; 1]. Как быть с иррациональными числами?
2) Как быть с непрерывностью?

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Так же, как и мы работаем в десятичных дробях со всеми вами перечисленными. Здесь только в двоичной системе.
Нас не смущает, что десятичной дробью мы не можем выразить абсолютно точно иррациональное число.
Интервал [0; 1] может быть покрыт двоичными дробями непрерывно, так же, как и десятичными, даже если они бесконечной длины.

p.s. Хотя подозреваю, что авторы вопроса имели в виду вовсе не Булеву алгебру, а вполне классическую арифметику.

Покрывать-то покрывают, так что с иррациональными числами, кажется, все в порядке, но будут ли близкие числа давать по вашему рецепту близкие результаты?

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

В условиях это не оговаривалось. Более того число не однозначно можно будет раскладывать на множители.

Ну да, в условиях не сказано. Тем не менее, непрерывность - это было бы хорошо.
Впрочем, по зрелому размышлению я пришел к мнению, что непрерывность (т.е. малым вариациям в исходных числах соответствуют малые вариации в результате) тоже выполняется.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Найти все значения a, для которых уравнение a^x = log_a(x) имеет единственное решение.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Доказать: Sqrt[a/(b+c)]+Sqrt[b/(a+c)]+Sqrt[c/(a+b)]>2; a,b,c>0

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Случай a>1

Показательная функция и логарифмическая обратные. Т.е. ось абсцисс можно заменить на ось ординат. Тогда графики симметричны относительно прямой у=х.
Кривые выпуклые (вверх и вниз). Либо пересекаются дважды, либо касаются в точке, либо не пересекаются вообще. В точке касания тангенс угла наклона 1.
Производные a^x*lna=1 и 1/(xlna)=1
В этой же точке показательная функция равна х. a^x=x
Логарифмируем обе части, получаем xlna=lnx=1, откуда x=e
Тогда lna=1/e a=e^(1/e)=1.44
При 1< а < e^(1/e)=заданное уравнение имеет 2 решения. (Функции выпуклы в разные стороны)
При a=e^(1/e) единственное решение.

Случай a<1

Одно решение есть всегда. Графики пересекают прямую симметрии у=x. Для поиска остальных решений тот же метод, что и для предыдущего случая. Только производная в искомой точке теперь минус 1.
(После этой точки показательная и логарифмические функции меняют крутизну (более пологая становится более крутой), что ведет к пересечению еще раз. Так как в предельных значениях снова более пологая становится более пологой.)
lnx=-1
x =1/e
lna=-e
a=e^(-e)=0.066
Итак при e^(-e)<a<1 и a = e^(1/e) уравнение имеет единственное решение.

Молодец! Я решал в точности так же.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха