Форум атеистов Рунета

Красиво, молодец!
Но можно проще:
Есть такая теорема:
Чтобы в треугольнике ABC биссектриса угла С была биссектрисой между высотой и медианой на сторону AB, необходимо и достаточно, чтобы угол С был прямым.
Отсюда сразу следует ответ.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Был соблазн перечитать теоремы о биссектрисах. Но лень

Как-то я неуклюже сформулировал теорему.
Вот так было бы лучше:
"В прямоугольном и только в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла является биссектрисой угла между высотой и медианой".

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Найти площадь параллелограмма ABCD

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Замечаем, что зеленые треугольники подобны. Пусть отношения сторон x.
Тогда площадь верхнего розового тр-ка:
S=BM*(на его высоту)/2=BC(1-1/x)h/x. Где h высота нижнего зеленого треугольника, проведенная к AD.
Площадь же этого треугольника ВС*h/2
Отношения площадей красного и зеленого треугольников (1-1/х)/х=2/9
Приводим к квадратному уравнению 2x^2-9x+9=0
Получаем коэффициент подобия 1,5 и 3. Соответственно имеем два случая.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.
Делим площадь известных треугольников на квадрат коэффициента подобия, получаем площади неизвестных треугольников. Равенство площадей доказывается из симметрии параллелограмма.

У меня другой ход решения:

Обозначим площадь треугольника CMK через х, тогда площадь тр. CDK равна х+2.
Проведем отрезок АМ, получим трапецию АМСК.
По теоремам о диагоналях трапеции тр. АМК равновелик тр. CDK, а произведение площадей CDK и AMK равно CMK*ADK, т.е. (x+2)²=9x, откуда имеем 2 решения: x=1 и x=4, а площади соответственно 24 и 30.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Через трапецию намного короче!

Не пользуясь дифференциальным исчислением, найти наибольшее и наименьшее значение функции (x² - 4x + 1)/(x² + 1)

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Приведем к виду 1-4x/(x²+1). Функция принимает экстремальные значения, при тех же x, когда и функция -4x/(x²+1) принимает экстремальные значения. Коэффициент -4 влияет только на масштаб. Отбросим его. x/(x²+1) =1/(x+1/x)
Знаменатель принимает минимальное значение при x=1. (x+1/x Неравенство Коши: cреднее арифметическое и среднее геометрическое совпадают только при равенстве слагаемых)
В силу симметрии исходной функции будет удовлетворять и x=-1.
Подставляя значения аргумента, получаем у=-1, y=3.

Красиво!
У меня другой ход решения:
Приведем y = (x² − 4x + 1)/(x² + 1) к квадратному уравнению относительно х:
(y − 1)x² + 4x + y − 1 = 0.
Оно имеет решение при условии D(y) = 16 − 4(y − 1)² ⩾ 0, откуда |y − 1| ⩽ 2, или −1 ⩽ y ⩽ 3

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха