Форум атеистов Рунета

Похоже, вкралась опечатка, из-за которой ответ м.б. неверный. Нужен был интеграл:

Попытался на онлайн-калькуляторе внести исправления, а он потребовал платы. М.б. я исчерпал бесплатный лимит?
Деньги невелики (около 4 €), но в Германии проблемы с перечислением денег в Россию.
Можете попытаться сами? Калькулятор по адресу https://kampus.ai/gpt-bot/onlajn-kalkul ... resheniem/

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

_________________
И свет во тьме светит, и тьма не объяла его..

Хм, Wolfram mathematica выдает:


e это E. Язык программы большое Е за число Эйлера принимает. Просто E в ответе должно быть.
В знаменателе почему-то R выносить из под корня не стала.

Не бывает газопылевых облаков в форме диска без звезды внутри. Если бы были, значительный размер привел бы к гравитационной неустойчивости, плотность оказалась бы местами неравномерной, это привело бы к сближению молекул, скоплению вещества в виде шара, разогреву, появлению звезды. Под действием гравитационных сил облако стало бы вращаться, приняло бы форму диска, но с массивной звездой в центре. Замена звезды бубликом вряд ли объяснит избыточно быстрое движение звезд на периферии галактик. И почему именно на периферии, всех звезд, даже тех что близки к центру. Просто мы не знаем с какой скоростью они движутся. И периферийные звезды мы не знаем с какой скоростью двигаются. Мы можем говорить лишь о лучевой скорости. Которая считается по сдвигу спектрального свечения. Полагая, что полная скорость и подавно выше лучевой (радиальной от звезды к наблюдателю). Посмотрели в телескоп, на далекую галактику, подсчитали число звезд, по цвету, яркости прикинули к какому классу звезды относятся, какой массой обладать должны. Просуммировали, подсчитали первую космическую на периферии галактики. И вдруг обнаружили, что звезды там двигаются в несколько раз быстрее, т.е. должны улететь с галактики. Но не улетают, единственное объяснение, что масса галактики больше, чем видимые звезды. Но и в инфракрасный телескоп особо больше не увидели, и в радиотелескоп никаких дополнительных объектов не увидели. Вот и родилась рабочая модель, что в теле галактик есть какая-то материя, которая не светится, ни в каком диапазоне. Назвали ее темной материей. Добавочная масса, чтоб звезды по Кеплеру вращались. Сейчас говорят, что темной материи вообще нет. Недостающую массу обеспечивают черные дыры в теле галлактик.

Евгений
Я не понял: частного случая R=1, гамма=1, ро=1, или нет?
Поскольку ответ содержит все эти параметры, похоже, что нет. Но, тем не менее, что-то мне этот ответ кажется неправдоподобным: слишком прост. Какая программа вычисляла интеграл? Вы уверены, что она интерпретировала Е как эллиптический интеграл, а не как число Эйлера?

Сергей
Ну так, если Е – это число Эйлера, то ответ неверный. Нужен интеграл от эллиптического интеграла.

Что интересно: во всех трех случаях (включая мою формулу с опечаткой) имеет место обратная пропорциональность (1/R).
А никто не пытался использовать тот же крутой калькулятор, что и я? Он правильно понимает, что Е – это эллиптический интеграл!

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Это все очень хорошо, но невозможно сразу решить задачу во всей ее сложности. Я хотел для начала решить упрощенную задачу - для сплошной невязкой среды в форме диска. Это неплохое нулевое приближение для галактики (но и эта задача оказалась достаточно сложной).
А когда простая задача будет решена, можно постепенно усложнять.

Кстати, насчет звезд внутри диска: элемент объема на расстоянии R от центра (R<R₀ (радиус всего диска)) испытывает притяжение со стороны части диска с радиусом r<R, а также притяжение со стороны кольца радиуса r>R (действует как отталкивание от центра). Нужно учитывать обе силы.
На досуге займусь выводом формулы (или вы меня опередите?)

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Ваш калькулятор выдал:
Ответ = (16 yp √r)/(R^(3/2)) – (16 yp arctan(√r/√R))/R + C.

Наша задача состоит в том, чтобы вычислить неопределённый интеграл

(4 yp)/R² ∫ (2 √(Rr))/(R+r) dr

где R, y и p – постоянные, а интегрирование происходит по переменной r.

Шаг 1. Вынесем постоянные за знак интеграла. Заметим, что (4 y*p)/R² остаётся неизменным, а под интегралом нам нужно вычислить

I = ∫ (2 √(R*r))/(R+r) dr.

Шаг 2. Представим корень √(Rr) в виде произведения:   √(Rr) = √R · √r. Тогда интеграл I можно записать как

I = 2√R ∫ (√r)/(R+r) dr.

Шаг 3. Сделаем подстановку. Пусть

u = √r  ⇒  r = u²  и  dr = 2u du. Также √r = u, а знаменатель превращается в u²+R. Подставим это в интеграл:

I = 2√R ∫ (u)/(u²+R) · (2u du) = 4√R ∫ (u²)/(u²+R) du.

Шаг 4. Разобьём дробь. Заметим, что   u²/(u²+R) = 1 – R/(u²+R).

Тогда интеграл распадается на два более простых интеграла:

I = 4√R [∫ 1 du – R∫ 1/(u²+R) du].

Шаг 5. Вычисляем оба интеграла отдельно. Первый интеграл:   ∫ 1 du = u.

Второй интеграл. Заметим, что R является константой, а выражение u²+R можно записать как u²+(√R)². Стандартный интеграл имеет вид   ∫ du/(u²+(√R)²) = (1/√R) arctan(u/√R).

Таким образом,   ∫ 1/(u²+R) du = (1/√R) arctan(u/√R).

Шаг 6. Подставляем полученные интегралы обратно:

I = 4√R [ u – R·(1/√R) arctan(u/√R) ] = 4√R u – 4R arctan(u/√R).

Вернёмся к переменной r, помня что u = √r:

I = 4√(R*r) – 4R arctan(√r/√R).

Шаг 7. Теперь помножим полученный интеграл на константу, вынесенную в начале, то есть на (4 y*p)/R². Тогда окончательный результат имеет вид:

(4 yp)/R² * [4√(Rr) – 4R arctan(√r/√R)] + C.

Можно вынести общий множитель 4, чтобы получить:

= (16 yp)/R² [√(Rr) – R arctan(√r/√R)] + C.

Шаг 8. При желании можно немного упростить первый член:   √(Rr) = √R·√r, и тогда   (16 yp √R √r)/R² = (16 y*p √r)/(R^(3/2)).

Второй член останется в виде (16 yp R arctan(√r/√R))/R² = (16 yp arctan(√r/√R))/R.

Таким образом, окончательный ответ можно записать так:

Ответ = (16 yp √r)/(R^(3/2)) – (16 yp arctan(√r/√R))/R + C.

Это и есть ответ задачи.

Вывод: Мы вынесли константы, сделали замену переменной u = √r, преобразовали интеграл в более простую форму, затем вычислили стандартные интегралы и, подставив назад u = √r, получили окончательный результат.

Не-е, это неопределенный интеграл. Нужно было вычислять определенный от 0 до R.
Я правильно понял, что yp - это гамма*ро?
Я попытался самостоятельно подставить в ответ пределы интегрирования, и получился 0!!! Такого быть не может!

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Блин, он вообще значок интеграла выкинул при вставке формулы. Надо разобраться как он в буквенном виде интеграл принимает. Или вы текстовую формулу напишите, я вставлю в калькулятор.