Форум атеистов Рунета

Да. Мне с клавиатуры проще набрать игрек, p

Чтобы все было ОК, нужно написать формулу с помощью формульного редактора MS-Word, сделать ее фотографию, запомнить на диск, а потом загрузить изображение в калькулятор. Он интерпретирует правильно.
Можно использовать готовое изображение из моего поста от 18.08.25, 15:14

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Ниже приведём одно из решений задачи.

Мы должны вычислить выражение

(4γρ)/R² · ∫₀ᴿ E(2 √(R r)/(R + r)) dr

где E(x) – функция второго рода (полный эллиптический интеграл второго рода).

Шаг 1. Выполним безразмерное преобразование интеграла. Для этого сделаем замену

r = R·u,   dr = R·du,   u ∈ [0,1].

Тогда интеграл перепишется как

I = ∫₀ᴿ E(2 √(Rr)/(R+r)) dr = R ∫₀¹ E(2 √(R·R·u)/(R+R·u)) du              = R ∫₀¹ E(2√u/(1+u)) du.

Таким образом исходное выражение становится

(4γρ)/R² · R ∫₀¹ E(2√u/(1+u)) du = (4γρ)/R ∫₀¹ E(2√u/(1+u)) du.

Обозначим

J = ∫₀¹ E(2√u/(1+u)) du.

Шаг 2. Перейдём к заменам, приводящим интеграл J к знакомой форме. Сначала положим

u = t²,  du = 2t dt,   t ∈ [0,1].

Тогда

J = ∫₀¹ E(2t/(1+t²)) · 2t dt = 2 ∫₀¹ t · E(2t/(1+t²)) dt.

После этого замечаем, что выражение 2t/(1+t²) можно получить через тригонометрическую подстановку. Действительно, положим

t = tan θ,  dt = sec²θ dθ,   θ ∈ [0,π/4].

Тогда

2t/(1+t²) = 2 tanθ/(1+tan²θ). Но мы знаем, что 1+tan²θ = sec²θ, следовательно,   2 tanθ/(sec²θ) = 2 tanθ cos²θ = sin2θ,   так как sin2θ = 2 sinθ cosθ, а tanθ = sinθ/cosθ.

Также заменяем меру:   t dt = tanθ·sec²θ dθ.

Таким образом интеграл принимает вид

J = 2 ∫₀^(π/4) tanθ · E(sin2θ) · sec²θ dθ.

Шаг 3. Выразим подынтегральное выражение через элементарные функции. Пишем tanθ sec²θ = (sinθ/cosθ)·(1/cos²θ) = sinθ/cos³θ. Таким образом

J = 2 ∫₀^(π/4) [sinθ/cos³θ] · E(sin2θ) dθ.

При дальнейших преобразованиях (например, введении φ = 2θ) можно свести интеграл к виду, записываемому через полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Действительно, оказывается (см. справочную литературу по эллиптическим интегралам), что этот интеграл эквивалентен

J = [2E(1/√2) – K(1/√2)].

Здесь K(k) – полный эллиптический интеграл первого рода, а E(k) – полный эллиптический интеграл второго рода с модулем k = 1/√2.

Шаг 4. Подставляем найденное значение J в исходное выражение. Тогда окончательный результат примет вид

(4γρ)/R ∙ [2E(1/√2) – K(1/√2)].

Таким образом, окончательный ответ:

Ответ = (4γρ)/R · [2E(1/√2) – K(1/√2)].

Замечание. В данном решении использована немало замен, позволяющих привести исходный интеграл к табличному виду. Подобное выражение встречается, например, при решении краевых задач в физике (эллиптические интегралы часто возникают при описании потенциалов круговых или сферических распределений).

Разбираться с ходом вычислений мне лень, а вот ответ - правдоподобный!
В квадратных скобках стоит просто некоторое число, а характер зависимости остается, как и раньше: 1/R.
Это интересный результат. Возможно, он качественно объясняет слишком быстрое вращение периферийных звезд (по сравнению с тем случаем, когда практически вся масса галактики была бы сосредоточена в ее центре, тогда было бы 1/R²).

Еще одна мысля.
Для равномерного распределения плотности имеем 1/R, для всей массы в центре - 1/R². Видимо, для промежуточного случая некоторого распределения плотности с убыванием от центра к периферии будем иметь 1/R^k (1<k<2). М.б. можно подобрать такое распределение, чтобы согласовать с наблюдаемыми скоростями.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Подгонять форму галактик под формулы идея, конечно, интересная.

deepeek


deepeek?

_________________
И свет во тьме светит, и тьма не объяла его..

Галактики бывают разные. Вот Млечный путь:

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Вот если сбоку на Млечный путь посмотреть он тоже будет иметь в центре балдж - сфероидальное уплотнение из звёзд в центре галактики. Половина всех галактик спиральные.
Остальные элипсоидные или иррегулярные.

Если бы галактика имела форму шара с равномерным распределением плотности, F было бы прпоциональна R (или 1/R² ?). Ели диск - проптрциональна 1/R (это еще нужно проверить - займусь на досуге). В промежуточных случаях зависимость должна лежать в промежутке между R (1/R² ?) и 1/R.

_________________
Мудрость - это понимание своего бессилия перед глупостью.
Во имя овса и сена, и свиного уха

Если шара, то классика F=GmM/R²